Cho hàm số \(f(x)=x^{3}-3 x+1 . \) . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số \(y=f(m-x)+(m-1) x\) đồng biến trên khoảng (8;9)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saita có \(y^{\prime}=-f^{\prime}(m-x)+m-1=-\left[3(m-x)^{2}-3\right]+m-1=g(x)=-3 x^{2}+6 m x-3 m^{2}+m+2\)
\(\Delta^{\prime}=9 m^{2}+3-3 m^{2}+m+2=3(m+2)\)
TH1: \(\Delta \leq 0 \Leftrightarrow m \leq-2 \Rightarrow y^{\prime} \leq 0, \forall x\), hàm số không đồng biến.
TH2: \(\Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow m>-2\)
Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1}<x_{2}\) và hàm số đồng bến trên \((x_{1};x_{2})\); . Theo yêu cầu bài toán ta có:
\(\begin{array}{l} (8 ; 9) \subset (x_{1} ; x_{2}) \Leftrightarrow x_{1} \leq 8<9 \leq x_{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -3 g(8) \leq 0 \\ -3 g(9) \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -3 m^{2}+49 m-190 \geq 0 \\ -3 m^{2}+55 m-241 \geq 0 \end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow \frac{55-\sqrt{133}}{6} \leq m \leq 10 \end{array}\)
Mà m nguyên nên \(m \in\{8,9,10\}\). Vậy có 3 giá trị m.