Cho hàm số y=f(x). Đồ thị hàm y=f'(x) như hình vẽ
Đặt \(g(x)=3 f(x)-x^{3}+3 x-m\) với m là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g(x) \geq 0\) đúng với \(\forall x \in[-\sqrt{3} ; \sqrt{3}]\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &g(x) \geq 0 \Leftrightarrow 3 f(x)-x^{3}+3 x-m \geq 0 \Leftrightarrow 3 f(x)-x^{3}+3 x \geq m\\ &\text { Đặt } h(x)=3 f(x)-x^{3}+3 x . \text { Ta có } h^{\prime}(x)=3 f^{\prime}(x)-3 x^{2}+3 \end{aligned}\)
Suy ra
\(\left\{\begin{array}{l} h^{\prime}(-\sqrt{3})=3 f^{\prime}(-\sqrt{3})-6=0 \\ h^{\prime}(\sqrt{3})=3 f^{\prime}(\sqrt{3})-6=0 \\ h^{\prime}(0)=3 f^{\prime}(0)=0 \\ h^{\prime}(1)=3 f^{\prime}(1)<0 \end{array}\right.\)
Ta có bảng biến thiên
Vậy \(g(x) \geq 0\Leftrightarrow m\leq h(\sqrt{3})=3 f(\sqrt{3})\)