Cho hình chóp S.ABC biết \(AB = 8,\,\,BC = 4,\widehat {\,ABC} = {60^0}\). Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao cho KB = 3KA. Biết \(SB,\,SC\) cùng hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} – 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}} = 4\sqrt 3 \).
Trong \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại C.
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot HK\).
Ta có BH là hình chiếu của SB trên mp \(\left( {ABC} \right)\), CH là hình chiếu của SC trên mp \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa SB và mp \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SBH}\) và góc giữa SC và mp \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCH}\). Theo giả thiết: \(\widehat {SBH} = \widehat {SCH} = {60^0}\) do đó: \(HB = HC \Rightarrow HM \bot BC \Rightarrow HM//AC\).
Suy ra đường thẳng HM đi qua trung điểm I của AB.
Ta có \(\Delta HKI\) và \(\Delta BMI\) đồng dạng nên: \(\frac{{HI}}{{BI}} = \frac{{KI}}{{MI}} \Leftrightarrow \frac{{HI}}{4} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} \Leftrightarrow HI = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(HM = HI + IM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2\sqrt 3 = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}, HB = \sqrt {H{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + 4} = \frac{{4\sqrt {21} }}{3}\),
\(SH = HB.tan{60^0} = 4\sqrt 7 \).
Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = 8\sqrt 3 \).
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}4\sqrt 7 .8\sqrt 3 = \frac{{32\sqrt {21} }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Một hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng \(54{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\), thể tích của khối lập phương đó bằng
-
Biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng V. Tính thể tích V1 tứ diện A'ABC' theo V.
-
Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a , góc giữa $SB$ và (ABC) là \({30^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( AB'C' \right)\) tạo với mặt đáy góc \({{60}^{0}}\). Tính theo \(a\) thể tích lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
-
Xét khối tứ diện ABCD có cạnh \(AB = 2\sqrt 3 \) và các cạnh còn lại đều bằng x. Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(2\sqrt 2 \).
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ M đến các mặt của khối tứ diện là
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 3a, BC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC là:
-
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB’D’) chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đường chéo bằng \(a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối chóp A'.ABCD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
-
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết đáy ABC là tam giác vuông tại B và AD = 5, AB = 5, BC = 12. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.
-
Nếu khối chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = 90^\circ \) thì có thể tích được tính theo công thức
-
Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có \(AD=60cm\). Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
.png)
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào ĐÚNG?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình lăng trụ trên. Tính S.
-
Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AD = 1 , đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 2. Cho hình thang đó quay quanh AB ta được khối tròn xoay có thể tích bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , AD = 2a, AB = BC = a,SA vuông góc với đáy, SB tạo với đáy một góc 30o. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SBCD}}}}?\)
-
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết A'A = A'B = A'C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác ABC vuông tại C, \(AB=a\sqrt{5}\), AC=a. Cạnh bên \(SA=3a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
