Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =3, AD = 4 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng đáy là \(45^0\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\((S C,(A B C D))=(S C, S A)=\widehat{S C A}=45^{\circ}\)
\(\text { Khi đó, } \Delta S A C \text { vuông cân tại } A \Rightarrow S A=A C=5 \text {. }\)
Gọi \(A C \cap B D=O\), khi đó O là tâm của hình chữ nhật đáy.
Suy ra: Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD thuộc đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy \(\Rightarrow d \cap S C=I\) .
Mặt khác, do \(\Delta SAC\) vuông cân tại A nên I cách đều các điểm S, A, C
\(\text { Suy ra: } I \text { là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp } S \cdot A B C D \text { có bán kính } R=S I=\frac{S C}{2}=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \text {. }\)