Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm của OA. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi N là trung điểm của DC.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}
DC \bot NO\\
DC \bot SO
\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SON)\)
Kẻ OH⊥ON ⇒ OH ⊥ (SCD) ⇒ d(O,(SCD)) = OH.
\(\begin{array}{l} \frac{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{CM}} = \frac{{\frac{1}{2}AC}}{{\frac{3}{4}AC}} = \frac{2}{3}.\\ \begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{S{A^2} - A{O^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2}}}}\\ { = \frac{1}{{{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}}\\ { \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}} \end{array}\\ \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}.OH = \frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 a}}{4} \end{array}\)