Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x,y \in \left[ {5;50} \right]\) và \(\sqrt x \ge {y^2} + 2y – x + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCó \(\sqrt x \ge {y^2} + 2y – x + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \Leftrightarrow x + \sqrt x \ge {y^2} + 2y + 2 + \sqrt {{y^2} + 2y + 2} \) (2)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \sqrt t \) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có:
\(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{2\sqrt t }} > 0,\forall t > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến.
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge f\left( {{y^2} + 2y + 2} \right) \Leftrightarrow x \ge {y^2} + 2y + 2\)
Do \(x,y \in \left[ {5;50} \right]\) nên \(5 \le {y^2} + 2y + 2 \le 50 \Leftrightarrow 4 \le {\left( {y + 1} \right)^2} \le 49 \Leftrightarrow 1 \le y \le 6\)
Do \(y \in \mathbb{Z}\) và \(y \in \left[ {5;50} \right]\) nên y = 5 hoặc y = 6.
Với y = 5 có \(37 = {y^2} + 2y + 2 \le x \le 50 \Rightarrow x \in \left\{ {37;38;…;50} \right\}\) có 14 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Với y = 6 có \(50 = {y^2} + 2y + 2 \le x \le 50 \Rightarrow x = 50\) có 1 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Vậy có tất cả 15 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
