Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx – \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định : \(D = \mathbb{R}.\)
\(y’ = {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}}\).
Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y’ \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + m + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right) \Leftrightarrow {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} \ge – m,\,\forall x \in \left( {0;\, + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow – m \le \,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right)\),với \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}}\left( 1 \right)\).
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(f\left( x \right) = {x^3} + \frac{3}{{2{x^2}}} = \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{2} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} \ge 5\sqrt[5]{{\frac{1}{{{2^5}}}}} = \frac{5}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó \(\,\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0;\, + \infty } \right)} \,f\left( x \right) = \frac{5}{2}\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \( – m \le \frac{5}{2}\, \Leftrightarrow m \ge – \frac{5}{2}\). Do m nguyên âm nên m = – 1 hoặc m = – 2.
Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y = \frac{{mx – 2m – 3}}{{x – m}}\) với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
-
Tập nghiệm của bất phương trình: \(\sqrt {5x - 1} + \sqrt {x + 3} \ge 4\) có bao nhiêu giá trị nguyên trong ( 0; 2008]
-
Tìm các giá trị của m để hàm số \(y=\frac{2 m x+4}{x+2 m}\) đồng biến trên \((1 ;+\infty) ?\)
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số \(y=f\left(x^{2}-2\right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây -
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=-x^{3}+3 x^{2}+3\left(m^{2}-1\right) x-3 m^{2}-1\) nghịch biến trên R.
-
Cho hàm số \(y=\frac{m x+9}{x+m}\)( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((-\infty ; 1) ?\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên tập số thực R. Biết đồ thị hàm số y=f′(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số \(y=f(6–2x)\) nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) . Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ
Hàm số \(g(x)=f(-2 x+1)+(x+1)(-2 x+4)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây -
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ.
Đặt \(g(x)=f\left(x^{2}-2\right)\) Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới?
-
Hàm số y = - x3 + 3x – 5 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số y =f(x) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{x^{2}-2 m x+m+2}{x-m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{x}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty)\)
-
Hàm số y = x4 – 2x2 + 3 đồng biến trên các khoảng nào?
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)=x(x-1)^{2}(x-2)\). Hỏi hàm số \(y=f\left(\frac{5 x}{x^{2}+4}\right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số \(y=3 f(x+2)-x^{3}+3 x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{(m-1) x-m}{x+2 m}\) . Tập hợp các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty ; 0) \) là?
-
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y=f(x)=\frac{x+2 m-3}{x-3 m+2}\) đồng biến trên \((-\infty ;-14)\).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{1}{{5{x^5}}}\) đồng biến với x > 0?
