Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + \left( {1 - m} \right)x + 1 + m}}{{x - m}}\) đồng biến trên khoảng (1;+∞)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định D = R\{m}.
Ta có \(y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} = \frac{{g\left( x \right)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)
Hàm số đồng biến trên ∞) khi và chỉ khi ) ≥ 0 và m ≤ 1 (1)
Vì \(\Delta {'_g} = 2{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0,\;\forall m\)nên (1) tương đương g(x) = 0 có hai nghiệm thỏa \({x_1} \le {x_2} \le 1\)
Điều kiện tương đương là
\(\left\{ \begin{array}{l}
2g\left( 1 \right) = 2\left( {{m^2} - 6m + 1} \right) \ge 0\\
\frac{S}{2} = m \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2 \approx 0,2\)
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.