Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;\,10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng với \(\forall x \in \mathbb{R}: {\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} – \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} – \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0 \Leftrightarrow {2^x}{\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {3 – \sqrt 7 } \right)^x} \ge \left( {m + 1} \right){2^x}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 – m} \right){\left( {\frac{{3 – \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} \ge m + 1\)
Đặt \(t = {\left( {3 + \sqrt 7 } \right)^x}, t > 0 \Rightarrow {\left( {\frac{{3 – \sqrt 7 }}{2}} \right)^x} = \frac{1}{t}\).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow t + \left( {2 – m} \right).\frac{1}{t} \ge m + 1,\,\forall t > 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t + 1}},\,\forall t > 0\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – t + 2}}{{t + 1}}\) trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \propto } \right)\), ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}\)
\(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 3\\t = 1\end{array} \right.\). Khi đó, ta có bảng biến thiên sau
.png)
Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì \(m \le 1\). Suy ra trong đoạn \(\left[ { – 10\,;\,10} \right]\) có tất cả 12 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
