Cho x,y là các số thực thỏa mãn bất phương trình: \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y \ge {8^y}\). Biết \(0 \le x \le 20\), số các cặp x,y nguyên thỏa mãn bất phương trình trên là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x – 3y \ge {8^y} \Leftrightarrow {2^{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)}} + {\log _2}\left( {x + 1} \right) \ge {2^{3y}} + 3y\). (1)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) có \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\)
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) \ge f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) \ge 3y \Leftrightarrow x \ge {2^{3y}} – 1\)
Với \(0 \le x \le 20 \Rightarrow 1 \le {2^{3y}} \le 21 \Rightarrow 0 \le y \le {\log _8}21 \approx 1,4\)
Vì \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Với y = 0 có \(x \ge 0\) nên có 21 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Với y = 1 có \(x \ge 7\) nên có 14 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.
Vậy có tất cả 35 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.