Cho số nguyên a, số thực b. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của a để tồn tại số thực x thỏa mãn \(x + a = {4^b}\) và \(\sqrt {x – 2} + \sqrt {a + 2} = {3^b}\). Tổng các phần tử của tập S là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\a \ge – 2\end{array} \right.\) . Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x – 2} \\v = \sqrt {a + 2} \end{array} \right.{\rm{ }};{\rm{ }}u,v \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} + {v^2} = {4^b}(1)\\u + v = {3^b}{\rm{ }}(2)\end{array} \right.\)
Trong đó \(\left( 1 \right)\) là phương trình của đường tròn tâm \(I(0;0) \equiv O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = {2^b}\) và \(\left( 2 \right)\) là phương trình của một đường thẳng.
Ta phải có: \({\rm{d}}\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| { – {3^b}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \le {2^b} \Rightarrow {3^b} \le {2^{b + \frac{1}{2}}} \Rightarrow b \le {\log _{\frac{3}{2}}}\sqrt 2\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\\u + v = {3^b} \le {{\rm{3}}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 2.56{\rm{ }}\end{array} \right.\)
\({v^2} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow {v^2} = a + 2 \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \Rightarrow – 2 \le a \le 1,27\).
\( \Rightarrow a \in {\rm{\{ – }}2; – 1;0;1{\rm{\} }}\)
Thử lại với \(a = 1 \Rightarrow v = \sqrt 3 \Rightarrow {u^2} = {4^b} – 3 \ge 0 \Rightarrow b \ge {\log _4}3\)
\( \Rightarrow u = {3^b} – \sqrt 3 \ge {3^{{{\log }_4}3}} – \sqrt 3 \)
\( \Rightarrow {u^2} + {v^2} \ge {\left( {{3^{{{\log }_4}3}} – \sqrt 3 } \right)^2} + 3 > 3.4\) trái với \({u^2} + {v^2} = {4^b} \le {4^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt 2 }} \approx 3.27\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của a.
