Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z|^{2}=2|z+\bar{z}|+4 \text { và }|z-1-i|=|z-3+3 i| ?\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Gọi } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R}) \\ |z|^{2}=2|z+\bar{z}|+4 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=4|x|+4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}-4 x-4=0, x \geq 0(1) \\ x^{2}+y^{2}+4 x-4=0, x<0(2) \end{array}\right. \\ |z-1-i|=|z-3+3 i| \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=(x-3)^{2}+(y+3)^{2} \Leftrightarrow 4 x=8 y+16 \Leftrightarrow x=2 y+4(3) . \end{array}\)
\(\begin{aligned} &\text { +Thay (3) vào (1) ta được: }\\ &(2 y+4)^{2}+y^{2}-4(2 y+4)-4=0 \Leftrightarrow 5 y^{2}+8 y-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=\frac{2}{5} \Rightarrow x=\frac{24}{5}(n) \\ y=-2 \Rightarrow x=0(n) \end{array}\right. \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +Thay (3) vào (2) ta được: }\\ &(2 y+4)^{2}+y^{2}+4(2 y+4)-4=0 \Leftrightarrow 5 y^{2}+24 y+28=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=-2 \Rightarrow x=0(l) \\ y=-\frac{14}{5} \Rightarrow x=-\frac{8}{5}(n) \end{array}\right. \end{aligned}\)
Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện.