Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| { – 2 – 3i + \overline z } \right| = \left| {z – i} \right|\), gọi \(\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i\) và \(\frac{3}{5} – \frac{6}{5}i\) lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(\frac{6}{5} + \frac{3}{5}i\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \( \Leftrightarrow 4a – 8b – 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow a = 2b + 3\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b + 3} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {5{b^2} + 12b + 9} \) là hai đường tròn \(\left| z \right|\min \Leftrightarrow b = – \frac{6}{5} \Rightarrow a = \frac{3}{5}\) có tâm và bán kính lần lượt là \(z = \frac{3}{5} – \frac{6}{5}i\) và \({I_2}\left( {0\,;\, – 1} \right);{R_2} = \sqrt 2 \)
.png)
Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn \({z_1}\) và \({z_2}\) có môđun nhỏ nhất và lớn nhất nên OM dài nhất và ON ngắn nhất.
OM dài nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}OM = O{I_1} + {R_1}\\OM = O{I_2} + {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( {0\,;\,\,1 + \sqrt 2 } \right)\\M\left( {0\,;\,\, – 1 – \sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 3 + 2\sqrt 2 \).
ON ngắn nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ON = {R_1} – O{I_1}\\ON = {R_2} – O{I_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}N\left( {0\,;\,\, – \sqrt 2 + 1} \right)\\N\left( {0\,;\,\,\sqrt 2 – 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 – 1 \Rightarrow {\left| {{z_2}} \right|^2} = 3 – 2\sqrt 2 \).
Vậy \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 6.\)
