Cho các số phức z thỏa \(|z|=|\bar{z}-1+2 i|\) . Giá trị nhỏ nhất của \(|(1+2 i) z+11+2 i|\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M (x ; y) biểu diễn số phức \(z=x+y i \Rightarrow \bar{z}=x-y i\)
\(\begin{aligned} &|z|=|\bar{z}-1+2 i| \Leftrightarrow|x+y i|=|x-1+(2-y) i|\\ &\Leftrightarrow 2 x+4 y-5=0 \text { là đường thằng } d \text { . }\\ &\text { Có }|(1+2 i) z+11+2 i|=|(1+2 i) z+(1+2 i) (3-4 i)|=|(1+2 i) \quad (z+3-4 i)|\\ &=|1+2 i||z+3-4 i|=\sqrt{5} A M \text { vói } A(-3 ; 4) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &|(1+2 i) z+11+2 i|_{\min } \Leftrightarrow A M_{\min } \Leftrightarrow M \text { là hình chiếu của } A \text { lên đường thằng } d\\ &\text { Khi đó: }\\ &|(1+2 i) z+11+2 i|_{\min }=\sqrt{5} A M_{\min }=\sqrt{5} d(A ; d)=\sqrt{5} \cdot \frac{|2 \cdot-3+4.4-5|}{\sqrt{2^{2}+4^{2}}}=\frac{5}{2} \end{aligned}\)