Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3 i|=\sqrt{13} \text { và } \frac{z}{z+2}\)là số thuần ảo
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+y i,|z+3 i|=\sqrt{13} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+6 y=4\\ &\frac{z}{z+2}=\frac{x+y i}{(x+2)+y i}=\frac{x^{2}+y^{2}+2 x}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\frac{2 y i}{(x+2)^{2}+y^{2}} \text { là số thuần åo khi và chi khi: }\\ &\frac{x^{2}+y^{2}+2 x}{(x+2)^{2}+y^{2}}=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2 x=0\\ &\text { Lấy }(1)-(2): 3 y-x=2 \Leftrightarrow x=3 y-2 \text { thay vào }(1):\\ &(3 y-2)^{2}+y^{2}+6 y=4 \Leftrightarrow 5 y^{2}-3 y=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=0 \\ y=\frac{3}{5} \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x=-2 \\ x=-\frac{1}{5} \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)Thử lại thấy z =-2 không thỏa điều kiện.
Vậy có 1 số phức là \(z=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5} i\)