Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z+3 i|=\sqrt{13}\) và \(\frac{z}{z+2}\) là số thuần ảo?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(z \neq-2\)
\(\text { Đặt } z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\)
\( + |z+3 i|=\sqrt{13} \longrightarrow x^{2}+(y+3)^{2}=13 \leftrightarrow x^{2}+y^{2}+6 y=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
\(+\,\frac{z}{z+2}=\frac{x+y i}{(x+2)+y i}=\frac{x^{2}+y^{2}+2 x}{(x+2)^{2}+y^{2}}+\frac{2 y i}{(x+2)^{2}+y^{2}}\) là số thuần ảo
\(\Leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+2 x}{(x+2)^{2}+y^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2 x=0\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có
\(\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+6 y=4 \\ x^{2}+y^{2}+2 x=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=-2 ; y=0 \text { (loai) } \\ x=-\frac{1}{5} ; y=\frac{3}{5} \end{array}\right.\right.\)
Vậy có một số phức \(z=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5} i\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.