Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} m x^{2}+2 m x-3 m+4\) nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ: \(D=\mathbb{R} \cdot \text { Ta có } y^{\prime}=x^{2}-m x+2 m\)
Ta không xét trường hợp \(y^{\prime} \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \text { vì } a=1>0\)
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là \(3\Leftrightarrow y^{\prime}=0\) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa
\(\left|x_{1}-x_{2}\right|=3 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \Leftrightarrow m^{2}-8 m>0 \\ \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9 \Leftrightarrow S^{2}-4 P=9 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m>8 \text { hay } m<0 \\ m^{2}-8 m=9 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=-1 \\ m=9 \end{array}\right.\right.\right.\)