Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi x ( x > 0) là bán kính đáy của lon sữa.
Khi đó \(V=\pi x^{2} h \Rightarrow h=\frac{V}{\pi x^{2}}\) .
Diện tích toàn phần của lon sữa là \(S(x)=2 \pi x^{2}+2 \pi x h=2 \pi x^{2}+2 \pi x \frac{V}{\pi x^{2}}=2 \pi x^{2}+2 \frac{2}{x}=2 \pi x^{2}+\frac{4}{x}, x>0\)
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số \(S(x)=2 \pi x^{2}+\frac{4}{x}, x>0\)
\(S^{\prime}(x)=4 \pi x-\frac{4}{x^{2}}\)
\(S^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{1}{\pi}} \approx 0,6827\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên nhận thấy để diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì \(x=\sqrt[3]{\frac{1}{\pi}} \approx 0,6827\)