Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đề hàm số \(f(x)=-x^{3}+3(m+1) x^{2}+3(2 m-1) x+2020\) nghịch biến trên tập xác định của nó?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Tập xác định } D=\mathbb{R} \text { . }\\ \text { Ta có: } f^{\prime}(x)=-3 x^{2}+6(m+1) x+3(2 m-1) \text { . } \end{array}\)
\(\text { Để hàm số đã cho nghịch biến trên } \mathbb{R} \text { thì } f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\)
\(\text { ( Dấu " = " xảy ra tại hữu hạn } x \in \mathbb{R} \text { ) }\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -3<0 \\ {[3(m+1)]^{2}+3.3(2 m-1) \leq 0} \end{array} \Leftrightarrow m^{2}+2 m+1+2 m-1 \leq 0 \Leftrightarrow m^{2}+4 m \leq 0\right.\)
\(\Rightarrow-4 \leq m \leq 0\)
mà m nguyên nên \(m \in\{-4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 0\}\)
Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn đề bài.