Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A(1 ;-2 ; 1), B(0 ; 2 ;-1), C(2 ;-3 ; 1)\).. Điểm M thỏa mãn \(T=M A^{2}-M B^{2}+M C^{2}\) nhỏ nhất. Tính giá trị của \(P=x_{M}^{2}+2 y_{M}^{2}+3 z_{M}^{2} .\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Giả sử } M(x ; y ; z) \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { \overrightarrow { A M } = ( x - 1 ; y + 2 ; z - 1 ) } \\ {\overrightarrow { B M } = ( x ; y - 2 ; z + 1 ) } \\ { \overrightarrow{ C M } = ( x - 2 ; y + 3 ; z - 1 ) } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A M^{2}=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2} \\ B M^{2}=x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2} \\ C M^{2}=(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2} \end{array} .\right.\right.\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow T=\left[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}\right]-\left[x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}\right]+\left[(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2}\right] \\ &=\left[(x-1)^{2}-x^{2}+(x-2)^{2}\right]+\left[(y+2)^{2}-(y-2)^{2}+(y+3)^{2}\right]+\left[(z-1)^{2}-(z+1)^{2}+(z-1)^{2}\right] . \\ &=\left(x^{2}-6 x+5\right)+\left(y^{2}+14 y+17\right)+\left(z^{2}-6 z+1\right) . \\ &=(x-3)^{2}-4+(y+7)^{2}-32+(z-3)^{2}-8 \geq-4-32-8=-44 . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Dấu " }=\text { " xảy ra } \Leftrightarrow x=3, y=-7, z=3 \text { . } \\ &\text { Khi đó } M(3 ;-7 ; 3) \Rightarrow P=x_{M}^{2}+2 y_{M}^{2}+3 z_{M}^{2}=134 \text { . } \end{aligned}\)
