Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1;0;0) , B(0;0;1) và mặt phẳng \((P): 2 x-2 y-z+5=0\). Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao cho mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (P) một góc \(45^{\circ} \) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } C(0 ; c ; 0) \in O y \\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A B}=(-1 ; 0 ; 1), \overrightarrow{A C}=(-1 ; c ; 0) . \end{aligned}\)
\(\text { Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng }(A B C) \text { là: } \overrightarrow{n_{A B C}}=[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=(-c ;-1 ;-c) \text { . }\)
\(\text { Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng }(P) \text { là: } \overrightarrow{n_{P}}=(2 ;-2 ;-1) \text { . }\)
Theo giả thiết ta có
\(\begin{aligned} &\cos [(A B C),(P)]=\left|\cos \left(\overrightarrow {n_{A B C}}, \overrightarrow{n_{P}}\right)\right|=\cos 45^{\circ}\\ &\Leftrightarrow \frac{|-c .2+(-1) \cdot(-2)+(-c) \cdot(-1)|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-c)^{2}+(-1)^{2}+(-c)^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{|-c+2|}{3 \sqrt{2 c^{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{(c-2)^{2}}{9\left(2 c^{2}+1\right)}=\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow 16 c^{2}+8 c+1=0 \Leftrightarrow(4 c+1)^{2}=0 \Leftrightarrow c=-\frac{1}{4}\\ &\text { Vậy tọa độ điểm } C \text { là: } C\left(0 ;-\frac{1}{4} ; 0\right) \text { . } \end{aligned}\)
