Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \((S):(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=9\) và đường
thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{3}\)Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (4;3;4) song song với đường thẳng \(\Delta\) và tiếp xúc với mặt cầu (S)là:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:\(\vec{n}=(a ; b ; c), a^{2}+b^{2}+c^{2}>0\)
Phương trình mặt phẳng (P) cóa dạng: \((P): a(x-4)+b(y-3)+c(z-4)=0\)
Do \((P) / / \Delta \text { nên }-3 a+2 b+2 c=0 \Rightarrow 3 a=2(b+c)\)
Do (P) tiếp xúc với (S) nên \(\frac{|-3 a-b-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=3 \Leftrightarrow 9\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=(3 a+b+c)^{2}(*)\)
Thay \(3 a=2(a+b)\,\, vào \,\,\left(^{*}\right)\) ta được
\(4(b+c)^{2}+9\left(b^{2}+c^{2}\right)=9(b+c)^{2} \Leftrightarrow 2 b^{2}-5 b c+2 c^{2}=0 \Leftrightarrow(2 b-c)(b-2 c)=0\)
\(\begin{aligned} &\mathrm{TH} 1: 2 b-c=0, \text { chon } b=1 ; c=2 \Rightarrow a=2 \Rightarrow(P): 2 x+y+2 z-19=0(\text { thỏa })\\ &\mathrm{TH} 2: b-2 c=0, \text { chọn } c=1 ; b=2 \Rightarrow a=2 \Rightarrow(P): 2 x+2 y+z-18=0 \text { (loại do } \Delta \subset(P)) \end{aligned}\)