Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có phương trình lần lượt là \(\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1},\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\). Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi 2 giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và \({d_1},{d_2}\) là \(A\left( {2t;1 – t; – 2 + t} \right),B\left( { – 1 + 2s;1 + s;3} \right)\).
\(\Delta \equiv AB\). Mặt khác: \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 1 + 2s – 2t;s + t;5 – t} \right), \overrightarrow {{n_P}} = \left( {7;1; – 4} \right).\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { – 3t – 4s – 5; – 15t + 8s + 31; – 9t – 5s – 1} \right)\).
Mà \(AB \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3t – 4s – 5 = 0\\ – 15t + 8s + 31 = 0\\ – 9t – 5s – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\s = – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {2;0; – 1} \right)\\B\left( { – 5; – 1;3} \right)\end{array} \right.\)
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\left( {2;0; – 1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 7; – 1;4} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x – 2}}{7} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 4}}\).
