Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cân tại \(A\), mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(B\) và vuông góc với SC, chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương pháp:
- Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh \(AD \bot SC\). Từ đó, dựng mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\) với chú ý \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)//AD\).
- Sử dụng tỉ số thể tích khối chóp \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Cách giải:
Gọi D là trung điểm của BC ta có \(AD \bot BC\)
Mà \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right),AD \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(AD \bot \left( {SBC} \right)\)\( \Rightarrow AD \bot SC\)
Lại có \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right) \bot SC \Rightarrow \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)//AD\)
Gọi E là trung điểm của SC thì \(BE \bot SC \Rightarrow BE \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\)
Trong mp(SBC), gọi G là giao điểm của BE và AD thì \(G \in BE \subset \left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\)
Tròn mp(SAD), qua G kẻ GF//AD (\(F \in SA\)) ta được (BEF) chính là mặt phẳng \(\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)\).
Dễ thấy G là trọng tâm tam giác SBC nên \(\dfrac{{SG}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\).
Mà GF//AD nên theo Ta let \(\dfrac{{SF}}{{SA}} = \dfrac{{SG}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{S.BEF}}}}{{{V_{S.BCA}}}} = \dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}}.\dfrac{{SF}}{{SA}} = 1.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow {V_{S.BEF}} = \dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}}}\\{ \Rightarrow {V_{B.ACEF}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.BEF}}}\\{ = {V_{S.ABC}} - \dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}}}\\{ \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.BEF}}}}{{{V_{B.ACEF}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}{V_{S.ABC}}}}{{\dfrac{2}{3}{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{1}{2}}\end{array}\)
Chọn A.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Lạc Long Quân
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình sau \({3^{x - 1}} = 9\) là?
-
Cho hàm số sau \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với giá trị nào của \(m\) để hàm số có 2 điểm cực trị A,B sao cho \(AB = \sqrt {20}\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right).\) Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2 + {e^x}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = 4a\). Tính theo \(a\) khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SC?
-
Tìm nguyên hàm của hàm số sau \(f(x) = 3{x^2} + 8\sin x\)?
-
Biết rằng \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \) với \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\) là các số hữu tỉ. Tính giá trị của \(2a + 3b - 4c\)?
-
Làng gốm truyền thống Bát Tràng dự kiến làm 1 bức tranh gồm hình vuông cạnh \(4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right)\), thiết kế có 4 đường parabol chung đỉnh tại tâm của hình vuông, tạo nên bốn cánh hoa (tham khảo hình vẽ). Phần diện tích cánh hoa (phần tô đậm) sẽ được tráng một lớp men đặc biệt. Chi phí tráng lớp men đó có đơn giá là 24 triệu đồng/\({m^2}\). Tính số tiền phải trả để tráng men cho 4 cánh hoa?
-
Tính thể tích \(V\) của khối nón có độ dài đường sinh \(l = 5a\) và bán kính của đường tròn đáy là \(r = 3a\)?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x + 3\) và parabol \(y = 2{x^2} - x - 1\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau \(y = x\sin x\) là?
-
Tìm giá trị cực đại của hàm số sau \(y = {\rm{\;}} - {x^3} + 3{x^2} + 1\)?
-
Viết ptmp vuông góc với \(\left( P \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x - z + y = 0\) và chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng \(\left( Q \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2x + 2y - z + 1 = 0\) và \(\left( R \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x + 2y - 2z + 2 = 0\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho mp \(\left( P \right):2x - y + 2z + 1 = 0\) và 2 điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right),\)\(B\left( { - 1; - 1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x\) là?
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} {\rm{\;}} + \sqrt x }} = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt a {\rm{\;}} - b} \right)} \) với a, b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức sau \(T = a + b\) bằng?
-
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;1; - 1} \right),B\left( { - 1;2;0} \right),C\left( {3; - 1; - 2} \right)\). Giả sử \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 861\) sao cho \(P = 2M{A^2} - 7M{B^2} + 4M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \(T = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|\) bằng?
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Hình trụ \(\left( T \right)\) có 1 đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD. Diện tích xung quanh của \(\left( T \right)\) bằng?
-
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt 2 a\). Tam giác SAD cân tại \(S\) và mặt bên \(\left( {SAD} \right)\) vuông góc với mp đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\dfrac{4}{3}{a^3}\). Tính khoảng cách h từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)?
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) không vượt quá 2021 để phương trình \({4^{x - 1}} - m{.2^{x - 2}} + 1 = 0\) có nghiệm?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{4} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{3}\). Vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?
