Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \(a,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + 1 > 1\\9{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\6ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) > 0\)
Lại có : \(9{a^2} + {b^2} + 1 \ge 6ab + 1\) \( \Rightarrow {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right)\)
Suy ra :
\(2 = {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) \ge {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)\)
Mà \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right)}} \ge 2\)
Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\{\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\18{a^2} = 9a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Do đó \(a + 2b = \frac{7}{2}\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An