Cho đường thẳng y=3x và parabol \(y=2{{x}^{2}}+a\) ( a là tham số thực dương). Gọi \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của 2 hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\) thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐáp án A
Xét phương trình tương giao: \(3x=2{{x}^{2}}+a\)
\(\Rightarrow 2{{x}^{2}}-3x+a=0 \left( 1 \right)\)
Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) (\({{x}_{2}}>{{x}_{1}}>0) \)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta =9-8a>0 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3}{2}>0 \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{a}{2}>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 0\)
Ta có: \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{{{x}_{1}}}{\left( 2{{x}^{2}}-3x+a \right)dx=\left. \left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right) \right|_{0}^{{{x}_{1}}}}\)
\(=\frac{2}{3}x_{1}^{3}-\frac{3}{2}x_{1}^{2}+a{{x}_{1}}\)
\({{S}_{2}}=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( 2{{x}^{2}}-3x+a \right)dx}\)
\(=\left. -\left( \frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+ax \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}$$=-\left( \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}} \right)+\left( \frac{2}{3}x_{1}^{3}-\frac{3}{2}x_{1}^{2}+a{{x}_{1}} \right)\)
Do \({{S}_{1}}={{S}_{2}}\Rightarrow \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+a{{x}_{2}}=0\)
mà \({{x}_{2}}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)\) nên \(2x_{2}^{2}-3{{x}_{2}}+a=0\Rightarrow a=-2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}}\)
\(\left( 2 \right)\)
\(\Rightarrow \frac{2}{3}x_{2}^{3}-\frac{3}{2}x_{2}^{2}+\left( -2x_{2}^{2}+3{{x}_{2}} \right).{{x}_{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow -\frac{4}{3}x_{2}^{3}+\frac{3}{2}x_{2}^{2}=0\)
\(\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{9}{8}\) ( loại nghiệm \({{x}_{2}}=0\))
Thay vào \(\left( 2 \right)$$\Rightarrow a=\frac{27}{32}\in \left( \frac{4}{5};\frac{9}{10} \right)\).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(2;1;0), C(1;2-1) và D(2;0;-2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\sqrt{2}\). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn \(w=\frac{2+iz}{1+z}\) là một đường tròn có bán kính bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}, \forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right)-3=0$ là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right)=1\) và \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( 6x \right)\operatorname{d}x}=1\), khi đó \(\int\limits_{0}^{6}{{{x}^{2}}{f}'\left( x \right)\operatorname{d}x}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng
.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;2 \right)\) và \(B\left( 6;5;-4 \right)\). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
-
Số phức liên hợp của số phức 1-2i là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(f\left( 0 \right)=4\) và \({f}'\left( x \right)=2{{\sin }^{2}}x+1,\forall x\in \mathbb{R}\), khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2z-7=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là
-
Số cách chọn 2 học sinh từ 6 học sinh là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)$, hàm số \(y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên \(\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Bất phương trình $f\left( x \right)<2x+m$ ($m$ là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0\,;\,2 \right)$ khi và chỉ khi
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh 2a và A{A}'=3a (minh họa như hình vẽ bên).
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{2x-1}}=8\) là
-
Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=5\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(A\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) ( \(a\,,\,b\,,\,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2x+3\) là
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(\left| f\left( {{x}^{3}}-3x \right) \right|=\frac{3}{2}\) là
