Cho hai số thực dương x y ; thỏa mãn \(\log _{3} x+x y=\log _{3}(8-y)+x(8-x)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^{3}-\left(x^{2}+y^{2}\right)-16 x\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐk: \(\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ 0<y<8 \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \log _{3} x+xy=\log _{3}(8-y)+x(8-x) \\ \Leftrightarrow 2 \log _{3} x-\log _{3} x+xy=\log _{3}(8-y)+8 x-x^{2} \\ \Leftrightarrow 2 \log _{3} x+x^{2}=\log _{3} x+\log _{3}(8-y)+8 x-xy \\ \Leftrightarrow \log _{3} x^{2}+x^{2}=\log _{3}[x(8-y)]+x(8- y) \end{array}\)
Do hàm số \(f(t)=\log _{3} t+t\) đồng biến trên \((0;+\infty)\) đồng thời từ giả thiết bài toán có:
\(\left\{\begin{array}{l} x^{2} \in(0 ;+\infty) \\ x(8-y) \in(0 ;+\infty) \quad \Rightarrow x^{2}=x(8-y) \Leftrightarrow x+y=8 \\ f\left(x^{2}\right)=f[x(8-y)] \end{array}\right.\)
Do x,y>0 nên có \(x \in(0 ; 8)\).
Thay vào P ta có: \(P=x^{3}-x^{2}-(8-x)^{2}-16 x=x^{3}-2 x^{2}-64\).
Xét hàm số \(g(x)=x^{3}-2 x^{2}-64 ; x \in(0 ; 8) \text { ta có } \min\limits _{(0 ; 8)} g(x)=-\frac{1760}{27}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Nho Quan B
Câu hỏi liên quan
-
Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 0,5% mỗi tháng theo cách sau: mỗi tháng (vào đầu tháng) người đó gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng và ngân hàng tính lãi suất (lãi suất không đổi) dựa trên số tiền tiết kiệm thực tế của tháng đó. Hỏi sau 5 năm, số tiền của người đó có được gần nhất với số tiền nào dưới đây (cả gốc và lãi, đơn vị triệu đồng)?
-
Cho hai số phức \(z_{1}=-1+i \text { và } z_{2}=-2+3 i\). Phần ảo của số phức \(z_{1}-3 z_{2}\) bằng
-
Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của f '(x) như sau. Điểm cực đại của hàm số trên là
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{2020 x}\).
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=4 x^{2}+x, y=-1, x=0 \text { và } x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?
-
Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f( \sqrt{1+x}-\sqrt{3-x})=f( \sqrt{|m|+1})\) có nghiệm?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(4^{x}-3.2^{x}+2>0\) là:
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SC=a\sqrt3\) (minh họa như hình bên). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và và mặt phẳng (ABCD) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(S A \perp(A B C D) \text { và } S A=a \sqrt{3}\) . Khi đó thể tích của hình chóp S.ABCD bằng:
-
Cho hình trụ T . Biết rằng khi cắt hình trụ T bới mặt phẳng (P) vuông góc với trục được thiết diện là đường tròn có chu vi \(6a\pi\) và cắt hình trụ T bởi mặt phẳng Q song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2a, thiết diện thu được là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ T.
-
Thể tích V của khối cầu có bán kính R = 4 bằng
-
Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ nhóm có 5 học sinh.
-
Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y=\frac{a x+b}{c x+d}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2 x-3}{x+1}\)là:
-
. Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Nếu \(\int_{1}^{2} f(x) d x=3 \text { thì } \int_{2}^{1} 5 f(x) d x \text { là }\)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \( M(1 ; 2 ; 3) ; N(-1 ; 1 ; 2)\) Phương trình mặt phẳng trung trực của MN là:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{\frac{1}{2}} x<3\) là:
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^{3}+3 x^{2}-7\) và trục hoành là:
