Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;8 \right]\) và thỏa mãn
\(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-\frac{4}{3}\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=-\frac{247}{15}\).
Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 1;8 \right].\)Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Nhận thấy có một tích phân khác cận là \(\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx\). Bằng cách đặt \(x={{t}^{3}}\) ta thu được tích phân
\(\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=3\int\limits_{1}^{2}{{{t}^{2}}f\left( {{t}^{3}} \right)}dt=3\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)}dx\).
Do đó giả thiết được viết lại là \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-4\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)}dx=-\frac{247}{15}\). (*)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right)-2{{x}^{2}}+1 \right]}^{2}}}dx=-\frac{247}{15}+\int\limits_{1}^{2}{{{\left( 1-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx=0\)
\(\Rightarrow f\left( {{x}^{3}} \right)=2{{x}^{2}}-1,\forall x\in \left[ 1;2 \right]\to f\left( x \right)=2\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1,\forall x\in \left[ 1;8 \right]\).
\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{8}{xf\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{8}{x\left( 2\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1 \right)}dx=\frac{639}{4}.\)Chọn D
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Vụ Bản