Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;8 \right]\) và thỏa mãn
\(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-\frac{4}{3}\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=-\frac{247}{15}\).
Giả sử \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 1;8 \right].\)Tích phân \(\int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn D
Nhận thấy có một tích phân khác cận là \(\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx\). Bằng cách đặt \(x={{t}^{3}}\) ta thu được tích phân
\(\int\limits_{1}^{8}{f\left( x \right)}dx=3\int\limits_{1}^{2}{{{t}^{2}}f\left( {{t}^{3}} \right)}dt=3\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)}dx\).
Do đó giả thiết được viết lại là \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right) \right]}^{2}}}dx+2\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{3}} \right)}dx-4\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}f\left( {{x}^{3}} \right)}dx=-\frac{247}{15}\). (*)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ f\left( {{x}^{3}} \right)-2{{x}^{2}}+1 \right]}^{2}}}dx=-\frac{247}{15}+\int\limits_{1}^{2}{{{\left( 1-2{{x}^{2}} \right)}^{2}}}dx=0\)
\(\Rightarrow f\left( {{x}^{3}} \right)=2{{x}^{2}}-1,\forall x\in \left[ 1;2 \right]\to f\left( x \right)=2\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1,\forall x\in \left[ 1;8 \right]\).
\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{8}{xF'\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{8}{xf\left( x \right)}dx=\int\limits_{1}^{8}{x\left( 2\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-1 \right)}dx=\frac{639}{4}.\)Chọn D
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Vụ Bản
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A{A}'=AD=a\), \(AB=a\sqrt{2}\) (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABB'A' \right)\) bằng
.PNG)
-
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{0,5}}x+2\ge 0\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=-x+2\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Biết \(F\left( x \right)={{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2+f\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Năm \(2023\) một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là \(750.000.000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(2%\) giá bán so với giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \(2030\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)
-
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \({{\log }_{3}}b-2{{\log }_{9}}a=2.\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'(x)=x.\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{4}.\) Hàm số \(f\left( x \right)\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8\) và hai điểm \(A\left( 4;-4;3 \right),\)\)B\left( 1;-1;7 \right).\) Gọi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M\in (S)\) sao cho biểu thức \(\left| MA-2MB \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có hai nghiệm phân biệt là
-
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \({{a}^{3}}>{{a}^{\pi }}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 9-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}+{{\left( x-2 \right)}^{-2}}\) là
-
Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+4x \right)\)\( +{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 3x+6 \right)=0\) là
-
Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB=5km.\) Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng \(BC=7km\) (tham khảo hình vẽ). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc \(4\,km/h\) và đi bộ đến kho C với vận tốc \(6\,km/h.\) Hỏi muộn nhất mấy giờ người đó phải xuất phát từ vị trí A để có mặt ở kho C lúc 7 giờ sáng?
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\) và có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên dưới.
.PNG)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left[ 4f\left( x \right)-f''\left( x \right)+m \right]\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)?\)
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -2;0;1 \right)\) và \(B\left( -2;2;-3 \right).\)Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
