Xét các số thực \(x,y\)thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\) gần nhất với số nào dưới đây
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Nhận xét \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2>0\forall x;y\)
Bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\)\(\Leftrightarrow \frac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\)\(\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\).
Đặt \(t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\)
Bất phương trình\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1\)\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le 0\)
Đặt \(f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1\). Ta thấy \(f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0\).
Ta có \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1\)
\({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln 2=1\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,52\)
Quan sát BBT ta thấy \(f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1\)
\(\Rightarrow 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\)\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\) \(\left( 1 \right)\)
Khi đó tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là một hình tròn \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( 1;0 \right)\), bán kính \(R=1\).
Xét \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\Leftrightarrow \left( 2P-8 \right)x-Py+P-4=0\)
Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là một đường thẳng \(\Delta :\left( 2P-8 \right)x-Py+P-4=0\).
Để \(\Delta \) và \(\left( S \right)\) có điểm chung, ta suy ra \(d\left( I,\Delta \right)\le 1\).
\(\Leftrightarrow \frac{\left| 2P-8+P-4 \right|}{\sqrt{{{\left( 2P-8 \right)}^{2}}+{{P}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow \left| 3P-12 \right|\le \sqrt{5{{P}^{2}}-32P+64}\)
\(\Leftrightarrow 4{{P}^{2}}-40P+80\le 0\)\(\Leftrightarrow 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\)là \(5+\sqrt{5}\approx 7,23\) khi
\(\left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{3} \\ & y=\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \end{align} \right.\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Vụ Bản