Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8\) và hai điểm \(A\left( 4;-4;3 \right),\)\)B\left( 1;-1;7 \right).\) Gọi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M\in (S)\) sao cho biểu thức \(\left| MA-2MB \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là một đường tròn, bán kính của đường tròn đó là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 0;0;3 \right)\) và bán kính \(R=2\sqrt{2}.\)
Gọi \(C\) là điểm trên đoạn \(IA\) thỏa mãn \(IC=\frac{1}{4}IA\xrightarrow{{}}C\left( 1;-1;3 \right).\)
Xét \(\Delta IAM\) và \(\Delta IMC,\) ta có
\(\left\{ \begin{align} & \widehat{I}\,\,\text{chung} \\ & \frac{IA}{IM}=\frac{IM}{IC}=2 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \Delta IAM\backsim \Delta IMC\xrightarrow{{}}MA=2MC.\)
\(\Rightarrow P=\left| MA-2MB \right|=2\left| MC-MB \right|\ge 0.\)
Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(M\) nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn \(BC.\)
Mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\) của đoạn thẳng \(BC\) có phương trình là \(z-5=0.\)
Ta có \(h=d\left( I,\left( P \right) \right)=2.\)
Khi đó \(M\) nằm trên đường tròn có bán kính \({{R}_{1}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{8-4}=2.\)
Chọn A.
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Vụ Bản