Cho hàm số \(f\left( x \right),\,\,f\left( { - x} \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = - x \Rightarrow dx = - dt\).
Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow t = 2\\x = 2 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \).
Theo bài ra ta có : \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \dfrac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \Leftrightarrow I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \).
Đặt \(x = 2\tan u\) ta có : \(dx = 2\dfrac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)
Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow u = \dfrac{{ - \pi }}{4}\\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\).
Khi đó ta có \(I = \dfrac{1}{5}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}} = \dfrac{1}{{10}}\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {du} = \left. {\dfrac{1}{{10}}u} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{1}{{10}}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{{20}}\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Quý Cáp
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) với \(a \ne 1\) và \({\log _a}b > 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right);\,\,B\left( { - 2; - 4;3} \right);\,\,C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suấ để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\).
-
Tính \(\lim \dfrac{{\sqrt {4{n^2} + 1} - \sqrt {n + 2} }}{{2n - 3}}\) bằng:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
-
Gọi \(l,\,\,h,\,\,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diệnt ích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = m\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:
.JPG)
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) bằng :
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\): \({\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;3;0} \right);\,\,C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Cho khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\,\,AD = b,\,AA' = c\). Thể tích khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và số thực \(k\) tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biế thiên như sau:
.JPG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) vàc cos bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right) - 1 = m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Mệnh đề nào sau đây Sai?
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA = a\sqrt 5 \). Khoảng cách giữa \(BD\) và \(SC\) là :
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m - 1;3} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {1;3; - 2n} \right)\). Tìm \(m,n\) để các vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) cùng hướng.
