Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1\,;\,3 \right],f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in \left[ 1\,;3 \right]\), đồng thời \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\) và \(f\left( 1 \right)=-1\). Biết rằng \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=a\ln 3+b\,\,\,\left( a\in \mathbb{Z},\,\,b\in \mathbb{Z} \right)\), tính tổng \(S=a+{{b}^{2}}\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \(x\in \left[ 1;\,\,3 \right]\) ta có: \({f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left[ {{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\left( x-1 \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right){{\left[ 1+f\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}\)
\(\,\,\,\Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{4}}}+\frac{2}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}+\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}} \right){f}'\left( x \right)={{x}^{2}}-2x+1\)
Suy ra: \(-\frac{1}{3{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{3}}}-\frac{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}}+x+C\) (lấy nguyên hàm hai vế).
Ta lại có: \(f\left( 1 \right)=-1\Rightarrow \frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3}-1+1+C\Rightarrow C=0\)
Dẫn đến: \(-\frac{1}{3}{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{2}}-\frac{1}{f\left( x \right)}=-\frac{1}{3}{{\left( -x \right)}^{3}}-{{\left( -x \right)}^{2}}-\left( -x \right)\,\,\,\,\left( * \right)\)
Vì hàm số \(g\left( t \right)=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}-t\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( * \right)\Rightarrow \frac{1}{f\left( x \right)}=-x\Rightarrow f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\).
Hàm số này thỏa các giả thiết của bài toán.
Do đó \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\left( -\frac{1}{x} \right)\text{d}x=-}\ln 3\Rightarrow a=-1,\,\,b=0\).
Vậy \(S=a+{{b}^{2}}=-1\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\). Biết \(F\left( 1 \right)=8\), giá trị \(F\left( 9 \right)\) được tính bằng công thức
-
Rút gọn biểu thức \(P=\frac{{{a}^{\sqrt{3}+1}}.{{a}^{2-\sqrt{3}}}}{{{\left( {{a}^{\sqrt{2}-2}} \right)}^{\sqrt{2}+2}}}\) với a>0
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có 3 điểm cực trị?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 3;-2;5 \right), N\left( -1;6;-3 \right)\). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
-
Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình \({{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0\) có 4 nghiệm phân biệt.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\). Hàm số \(g\left( x \right)=f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}-6x+1\) đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại \({{x}_{1}},\text{ }{{\text{x}}_{2}}\). Tính \(m=g\left( x{{ }_{1}} \right)g\left( {{x}_{2}} \right)\).
-
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{-x}}+\cos x\). Tìm khẳng định đúng.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{4}}+2x \right)\). Đạo hàm \({f}'\left( 1 \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên dương n để \({{\log }_{n}}256\) là một số nguyên dương?
-
Cho hàm số \(y=\frac{3x}{5x-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\). như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh \({{B}_{1}}\), trục đối xứng \({{B}_{1}}{{B}_{2}}\) và đi qua các điểm M, N.Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/\({{m}^{2}}\) và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/\({{m}^{2}}\).Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết \({{A}_{1}}{{A}_{2}}=4m,{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2m,\text{ }MN=2m\).
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y=\frac{1}{4}\,{{x}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}}\,,\,\,{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg)
-
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right), B\left( 3\,;\,1\,;\,5 \right), C\left( 1\,;\,2\,;\,0 \right), D\left( 4\,;\,2\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với \(\left( \alpha \right)\) và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Giả sử phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng: 2x+my+nz-p=0. Khi đó, T=m+n+p bằng:
-
Cho hàm số y = g(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Tổng các nghiệm của phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)=0\) bằng
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.jpg.png)
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}\text{d}x=3,\,\,\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}\text{d}t=10\). Tính \(\int\limits_{3}^{5}{2f\left( z \right)}\text{d}z\).
-
Điểm \(A\) trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức \(z\).
.jpg.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình \({{9}^{{{m}^{2}}x}}+{{4}^{{{m}^{2}}x}}\ge m{{.5}^{{{m}^{2}}x}}\) có nghiệm?
