Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right), B\left( 3\,;\,1\,;\,5 \right), C\left( 1\,;\,2\,;\,0 \right), D\left( 4\,;\,2\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm cùng phía đối với \(\left( \alpha \right)\) và tổng khoảng cách từ các điểm A, B, C đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Giả sử phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng: 2x+my+nz-p=0. Khi đó, T=m+n+p bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(D\left( 4\,;\,2\,;\,1 \right)\) nên phương trình \(\left( \alpha \right)\) có dạng:
\(a.\left( x-4 \right)+b.\left( y-2 \right)+c.\left( z-1 \right)=0\) (với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0\))
Đặt \(S=d\left[ A,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ B,\left( \alpha \right) \right]+d\left[ C,\left( \alpha \right) \right]=\frac{\left| -2a-2b \right|+\left| -a-b+4c \right|+\left| -3a-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\).
Theo giả thiết, A, B, C nằm cùng phía đối với \(\left( \alpha \right)\) nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b > 0\\ - a - b + 4c > 0\\ - 3a - c > 0 \end{array} \right.\)
Khi đó, \(S=\frac{-2a-2b-a-b+4c-3a-c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{-6a-3b+3c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\)
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai bộ số \(\left( -6\,;\,-3\,;\,3 \right)\) và \(\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\), ta được:
\(-6a-3b+3c\le \left| -6a-3b+3c \right|\le \sqrt{\left( {{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{3}^{2}} \right).\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}\].
\(\Rightarrow S\le 3\sqrt{6}\).
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -6a-3b+3c\ge 0 \\ & \frac{a}{-6}=\frac{b}{-3}=\frac{c}{3} \\ \end{align} \right.\). Ta chọn \(\left\{ \begin{align} & a=-2 \\ & b=-1 \\ & c=1 \\ \end{align} \right.\).
\(\Rightarrow \left( \alpha \right):-2x-y+z+9=0\) hay \(\left( \alpha \right):2x+y-z-9=0\)
\(\Rightarrow m=1, n=-1, p=9\).
Vậy T=m+n+p=9.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2