Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = \int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = 6\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} \)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+) Đặt \(t = \sqrt[3]{x} \Rightarrow {t^3} = x \Rightarrow 3{t^2}dt = dx\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_1^8 {\frac{{f(\sqrt[3]{x})}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{{{t^3}}}3{t^2}dt} = 3\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 2\)
+) Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx \Rightarrow dt = - 2{\cos ^2}x\tan xdx \Rightarrow \tan xdx = - \frac{1}{{2t}}dt\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan x.f({{\cos }^2}x)dx} = - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\frac{1}{4}} {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 6 \Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = 12\)
+) Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow dt = 2{x^2}\frac{{dx}}{x} \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\frac{{dt}}{t}\)
Đổi cận:
Khi đó \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt 2 } {\frac{{f({x^2})}}{x}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} = \frac{1}{2}\int\limits_{\frac{1}{4}}^1 {\frac{{f(t)}}{t}dt + \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{f(t)}}{t}dt} } = \frac{{2 + 12}}{2} = 7\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \({\rm{[}}0{\rm{ }};{\rm{ }}\ln 2]\), thỏa mãn \(f(0) = 2;f(\ln 2) = 4\), biết \(\int\limits_0^{\ln 2} {{f^2}(x)d{\rm{x}} = 6} \) và \(\int\limits_0^{\ln 2} {f'(x){e^x}d{\rm{x}} = 3} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {f(x)d{\rm{x}}} \) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 5} \right)^3}\). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 3, AD = 2. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
-
Cho các số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,{z_2} = 4 - i\). Số phức liên hợp của số phức \({z_1} + {z_2}\) là
-
Cho số phức z = 1 - 3i. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(\overline z \) là điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(f(x) = {2^x}{.5^{{x^2}}}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên dưới đây.
.PNG)
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
-
Môđun của số phức z = 1 - 2i bằng
-
Cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) với \(a, b \in R\). Biết phương trình nhận một nghiệm phức là \({z_1} = 1 - 2i.\) Khi đó b - c bằng
-
Cho x, y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{3x + 2y - 9}}{{x + y + 10}}\) khi x, y thay đổi.
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) + 17 = 0 là:
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\) là
-
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({25^x} - \left( {m + 1} \right){.5^x} + m = 0\) có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 4\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {2; - 1;3} \right),\overrightarrow b \left( {1; - 3;2} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 3\overrightarrow b \) là:
-
Cho hình nón đỉnh S đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho tam giác OAB là tam giác vuông. Biết \(AB\,\, = \,\,a\sqrt 2 \) và \(\widehat {SAO}\,\, = \,{60^o}.\) Thể tích khối nón là
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) của phương trình \(f(c{\rm{osx}}) = c{\rm{osx}}\) là
.png)
-
Gọi S là tập hợp các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\) và đường thẳng y = 1. Tổng các phần tử của S là
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3x + m\). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1;1] bằng 7.
-
Cho khối trụ có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 1. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Cho x và y là những số thực không âm thỏa mãn \({x^2} + 2x + \frac{{{y^2}}}{2} - 3 = {\log _2}\frac{{\sqrt {9 - {y^2}} }}{{x + 1}}\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = x + y thuộc tập nào dưới đây ?
