Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right)=1\). Đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên.
Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số \(y=\left| 4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a \right|\) nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(y=4f\left( \sin x \right)+\cos 2x-a\)
\({y}'=\cos x\left[ 4{f}'\left( \sin x \right)-4\sin x \right]\).
Ta thấy, \(\cos x>0, \forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) và y=x vẽ trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
Từ đồ thị ta có \({f}'\left( x \right)<x,\,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow {f}'\left( \sin x \right)<\sin x,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)
Suy ra \({y}'<0,\,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên thì ycbt \(\Leftrightarrow 4f\left( 1 \right)-1-a\ge 0\Leftrightarrow a\le 4f\left( 1 \right)-1=3\).
Vì a là số nguyên dương nên \(a\in \left\{ 1;2;3 \right\}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Võ Thị Sáu lần 2