Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ : \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + {m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1 - {m^2}\end{array} \right.\)
Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu (tức là có 3 cực trị phân biệt) thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = m + 1 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right) \in Oy\\x = \sqrt {1 - {m^2}} \Rightarrow y = - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow B\left( {\sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\\x = - \sqrt {1 - {m^2}} \Rightarrow y = - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow C\left( { - \sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\end{array} \right.\).
Do \(A \in Oy,\,\,B,C\) đối xứng nhau qua Ox, do đó tam giác \(ABC\) cân tại A.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AH = \left| { - {m^4} + 2{m^2} + m - m - 1} \right| = \left| { - {m^4} + 2{m^2} - 1} \right| = {\left( {1 - {m^2}} \right)^2}\\BC = 2\sqrt {1 - {m^2}} \end{array} \right\}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}{\left( {1 - {m^2}} \right)^2}.2\sqrt {1 - {m^2}} = {\sqrt {1 - {m^2}} ^5}\end{array}\)
Ta có \({m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} \le 1 \Leftrightarrow {S_{ABC}} \le 1\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy \({S_{ABC}}\) lớn nhất bằng \(1\) khi và chỉ khi \(m = 0\).
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {1 + x + 4{x^2}} \right)^{10}}\) thành đa thức.
-
Cho hình chóp \(SABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\;\;BC = 2a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right) = S\left( {O;\,R} \right),\) một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách \(O\) một khoảng bằng \(a,\,\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(4\sqrt 2 a\pi .\) Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) .
-
Chị Hân hàng tháng gửi vào ngân hàng \(1.500.000\) đồng, với lãi suất \(0,8\% \) một tháng. Sau 1 năm chị Hân rút cả vốn lẫn lãi về mua vàng thì số chỉ vàng mua được ít nhất là bao nhiêu? Biết giá vàng tại thời điểm mua là \(3.648.000\) đồng/chỉ.
-
Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\) có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:
-
Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là:
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\,BC = 2a,\,AC' = 3a.\) Điểm \({\rm N}\) thuộc cạnh \(BB'\) sao cho \(BN = 2NB',\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(DD'\) sao cho \(D'M = 2MD.\) Mặt phẳng \(\left( {A'M{\rm N}} \right)\) chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm \(C'.\)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với giá trị nào của tham số \(m\) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,\;B\) sao cho \(AB = \sqrt {20} ?\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD,\) cạnh đáy có độ dài \(r\sqrt 2 ,\) chiều cao \(h\) . Xét hình nón \(\left( {\rm N} \right)\) ngoại tiếp khối chóp. Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích hình nón \(\left( {\rm N} \right)\) và thể tích khối cầu nội tiếp \(\left( {\rm N} \right)\) . Tìm tỉ số \(\frac{h}{r}\) sao cho \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?
-
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}?\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
.JPG)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \({h^2}\)
-
Bảng biến thiên sau là của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các mặt bên đều là hình vuông cạnh \(a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C'\) bằng
-
Cho \(x,\;y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right).\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + y\) là:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên \(\left[ { - 4;\,4} \right]\) là
-
Một sợi dây thép cho chiều dài \(8m,\) được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai được uốn thành hình tam giác đều. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích hai hình thu được là nhỏ nhất?
-
Biết \(\left( {a;\,b} \right)\) là tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {x - 5} \right)\left( {\log x + 1} \right) < 0.\) Tính \(10a + b = ?\)
-
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có hình chiếu \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(AB,\,ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = {60^0};\,BB'\) tạo với đáy một góc \({30^0}\). Tính thể tích hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) ?
