Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\) có đúng hai nghiệm thực. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) là:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} + 3 + m\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}} - 3x + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} + 3\left( {x - 1} \right) = 3{x^2} + 3x + m + 3\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà theo (*) ta có \(f\left( {x - 1} \right) = f\left( {\sqrt[3]{{3{x^2} + 3x + m}}} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = 3{x^2} + 3x + m \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} - m - 1 = 0\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} - m - 1\) ta có : \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = - m - 1\\x = 4 \Rightarrow g\left( 4 \right) = - 33 - m\end{array} \right.\)
Để phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có đúng 2 nghiệm thực thì hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 cực trị thỏa mãn \({y_{CD}}.{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow \left( { - m - 1} \right)\left( { - 33 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 33\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow S = \left\{ { - 1; - 33} \right\}\). Vậy tổng các phần tử của S là \( - 1 - 33 = - 34\).
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Một mật khẩu gồm 8 ký tự, trong đó có 6 chữ số lấy từ tập hợp 10 chữ số từ 0 đến 9 và 2 chữ cái in hoa lấy từ tập hợp 26 chữ cái không dấu. Người ta tạo một mật khẩu bằng cách viết 8 kí tự thành một hàng ngang, sao cho chữ số viết sau lớn hơn tất cả các chữ số viết trước nó và hai chữ cái không đứng cạnh nhau. Số mật khẩu được tạo ra theo cách như vậy là:
-
Cho khối trụ \(\left( T \right),\;\;AB\) và \(CD\) lần lượt là hai đường kính trên hai mặt phẳng đáy của \(\left( T \right).\) Biết góc giữa \(AB,\;CD\) là \({30^0},\;AB = 6cm\) và thể tích khối \(ABCD\) là \(30c{m^3}.\) Khi đó thể tích khối trụ \(\left( T \right)\) là:
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất?
-
Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có hình chiếu \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của \(AB,\,ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = {60^0};\,BB'\) tạo với đáy một góc \({30^0}\). Tính thể tích hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) ?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) , cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(SB = a\sqrt 3 .\) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) có mấy điểm cực trị?
.JPG)
-
Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \({h^2}\)
-
Cho hàm số \(y = \frac{3}{{2 - x}}\). Chọn phát biểu đúng?
-
Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đường thẳng \(d:2x - y + m = 0\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}?\)
-
Cho \(a > 0,b > 0,b \ne 1.\) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) cho như hình vẽ bên.
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({6^x} + \left( {3 - m} \right){.2^x} - m = 0\) có nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\) . Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;2} \right)?\)
-
Cho bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) < 3\) là
-
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có các mặt bên đều là hình vuông cạnh \(a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C'\) bằng
-
Tổng số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\) là
-
Hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) khi tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right) = S\left( {O;\,R} \right),\) một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách \(O\) một khoảng bằng \(a,\,\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(4\sqrt 2 a\pi .\) Tính theo \(a\) diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) .
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ
.JPG)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
-
Cho hình chóp \(SABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB = a,\;\;BC = 2a.\) Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(ABCD.\) Diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) là:
