Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=AC=4,BC=2,SA=4\sqrt{3};\angle SAB=\angle SAC={{30}^{0}}.\) Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}}\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(\Delta SBC;\Delta SCA;\Delta SAB\) và \(T\) đối xứng \(S\) qua mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Thể tích của khối chóp \(T.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\) bằng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b\in \mathbb{N}\) và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị \(P=2a-b.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Xét hai tam giác: \(\Delta SAC;\Delta SAB\) có:
\(SA\) chung.
\(AB=AC;\angle SAB=\angle SAC={{30}^{0}}\Rightarrow \Delta SAB=\Delta SAC\Rightarrow SB=SC.\)
Suy ra tam giác \(\Delta SBC;\Delta ABC\) cân.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SI\\ BC \bot AI \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SAI} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(AI\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\)
Xét tam giác \(\Delta SAB\) ta có:
\(S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}-2SA.2B.\cos \angle SAB=48+16-2.4\sqrt{3}.4.\cos {{30}^{0}}=16\Rightarrow SB=SC=4\)
Suy ra \(\Delta SBC=\Delta ABC\left( c.c.c \right)\Rightarrow AI=SI=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\)
Tam giác \(\Delta SIA\) cân tại \(I\). Gọi \(J\) là trung điểm của \(SA\) ta có: \(IJ=\sqrt{A{{I}^{2}}-J{{A}^{2}}}=\sqrt{15-12}=\sqrt{3}\)
Ta lại có \({{S}_{\Delta SIA}}=\frac{1}{2}IJ.SA=\frac{1}{2}SH.AI\Rightarrow SH=\frac{IJ.SA}{AI}=\frac{\sqrt{3}.4\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{12}{\sqrt{15}}\)
Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AI.BC=\sqrt{15}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{12}{\sqrt{15}}.\sqrt{15}=4.\)
.png)
Xét hình chóp \(T.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\) có:
\({{V}_{T.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}TK.{{S}_{\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}.\frac{4}{3}SH.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}.{{S}_{\Delta IMN}}=\frac{1}{3}.\frac{4}{3}SH.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{4}{27}{{V}_{S.ABC}}=\frac{16}{27}\)
Suy ra \(a=16;b=27\Rightarrow P=2a-b=5.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho mặt cầu \(S\left( O;r \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn. Hãy tính theo \(r\) chu vi của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right).\)
-
Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1,2m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thế tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
Cho bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-2x+6 \right)\le -2.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({{u}_{1}}=1,\) công bội \(q=2.\) Tổng ba số hạng đầu của cấp số nhân là
-
Hàm số \(y=\frac{2x-5}{x+2}\) đồng biến trên:
-
Cho giới hạn \(\underset{x\to -4}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3x-4}{{{x}^{2}}+4x}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}.\)
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh bên bằng \(2a,\) góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích của khối nón có đỉnh là \(S\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC. \)
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=2MI.\) Khi đó côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng
-
Một hộp có 8 quả cầu đỏ khác nhau, 9 quả cầu trắng khác nhau, 10 quả cầu đen khác nhau. Số cách lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp là?
-
Giới hạn \(\lim \left( 2{{n}^{2}}-1 \right)\) bằng
-
Cho tứ diện đều \(ABCD,M\) là trung điểm của \(BC. \) Khi đó cosin của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng \(\frac{\sqrt{3}}{6}?\)
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) tại 3 điểm phân biệt \(A,B,C\). B nằm giữa \(A\) và \(C)\) sao cho \(AB=2BC. \) Tính tổng các phần tử thuộc \(S.\)
-
Ông X muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích \(72{{m}^{3}}.\) Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?
-
Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1\) với \(n\in \mathbb{N}*\). Số 21 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),\) biết \(AB=AC=a,BC=a\sqrt{3}.\) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right).\)
-
Cho \(x,y\) là hai số thực không âm thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị lớn nhất của \(x,y\) là:
-
Thể tích khối cầu có bán kính \(r\) là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+m \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 1;2 \right).\) Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử?
.jpg.png)
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,A'C'.P\) là điểm trên các cạnh \(BB'\) sao cho \(PB=2PB'.\) Thể tích khối tứ diện \(CMNP\) bằng:
-
Gọi \(\left( S \right)\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+24x-m \right|\) có 7 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của \(S.\)
