Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \(AB = a;\,AC = a\sqrt 2 \) và \(\widehat {CAB} = 135^\circ \), tam giác SAB vuông tại B và tam giác SAC vuông tại A. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng 30o. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
.png)
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC).
\(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot SB\\ AB \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AB \bot BD\)
\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot SA\\ AC \bot SD \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AC \bot AD\,\)
Tam giác ABC có \(\widehat {CAB} = 135^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 45^\circ \).
Tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {BAD} = 45^\circ \) suy ra tam giác ABD vuông cân và \(AD = a\sqrt 2 \).
Từ đó có tam giác ACD vuông cân tại A ⇒ tứ giác ABCD là hình thang vuông tại B và D.
Trong mặt phẳng (SBD), hạ \(DH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\). Dễ chứng minh \(DH \bot \left( {SAB} \right)\).
Trong mặt phẳng (SAD), hạ \(DK \bot SA\,\,\left( {K \in SA} \right)\). Dễ chứng minh \(DK \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) ta có: \(\alpha = \widehat {\left( {DH,DK} \right)} = \widehat {HDK} = 30^\circ \) do tam giác DHK vuông tại H.
Đặt SD = x, (x > 0). Tam giác DHK vuông tại H có
\(\cos \widehat {HDK} = \frac{{HD}}{{DK}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}.\frac{{\sqrt {2{a^2} + {x^2}} }}{{\sqrt 2 .ax}}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 6 \sqrt {{a^2} + {x^2}} = 2\sqrt {2{a^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 6{a^2} + 6{x^2} = 8{a^2} + 4{x^2} \Leftrightarrow x = a\)
\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}.SD.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Vậy thể tích khối S.ABC bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 3a,AD = DC = a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Gọi M điểm trên AB sao cho AM = 2a, tính khoảng cách giữa MD và SC.
-
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D', có đáy là hình bình hành cạnh AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \), \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) và AB' = 2a (minh họa như hình dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.png)
-
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tìm xác suất để số được chọn có các chữ số sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không chứa hai chữ số nguyên nào liên tiếp nhau.
-
Cho hàm số f(x) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\) và \(f'\left( x \right) = x\sin x\). Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}\) (với a, b, c là các số nguyên dương, \(\frac ab\) tối giản). Khi đó a +b + c bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;0} \right)\). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).
-
Cho phương trình \(\sqrt {\log _3^2x - 4{{\log }_3}x - 5} = m\left( {{{\log }_3}x + 1} \right)\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {27; + \infty } \right)\).
-
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\sqrt { - 2x + 3} - 1}}{{ - \sqrt { - 2x + 3} + \frac{2}{m}}}\) (m khác 0 và là tham số thực). Tập hợp m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{2};\,\,1} \right)\) có dạng \(S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\,c} \right] \cup \left[ {d;\,\, + \infty } \right)\), với a, b, c, d là các số thực. Tính P = a - b + c - d.
-
Cho hàm số bậc ba f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 1 = m có 3 nghiệm phân biệt là
.png)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}} x\) có giá trị là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha)\): 2x + 3z - 1 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \((\alpha)\)?
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 3 - t\\ z = 3t \end{array} \right.\)?
-
Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc \(\Delta\) và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;-1;0). Phương trình của (S) là
-
Gọi \(\overline z \) là số phức liên hợp của số phức z = - 3 + 4i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \).
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây đúng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
-
Cho \({z_1} = 4 - 2i\). Hãy tìm phần ảo của số phức \({z_2} = {\left( {1 - 2i} \right)^2} + \overline {{z_1}} \).
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x - 6{x^2}\) là
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^x}\) và f(0) = -2.
Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 có giá trị là
