Cho hình chóp S.ABC \(SA = x,BC = y,AB = AC = SB = SC = 1\). Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng \(x+y\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC
Dễ thấy \(BC \bot AN,BC \bot SN \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right)\) . Do đó
\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABC}} = {V_{S.ABN}} + {V_{S.ANC}} = \frac{1}{3}.{S_{SAN}}.BN + \frac{1}{3}.{S_{SAN}}.CN = \frac{1}{3}{S_{SAN}}\left( {BC + CN} \right) = \frac{1}{3}{S_{SAN}}.BC\\
MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {A{B^2} - B{N^2} - A{M^2}} = \sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}}
\end{array}\)
Do đó \({S_{SAN}} = \frac{1}{2}SA.MN = \frac{x}{2}\sqrt {1 - \frac{{{y^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{4}} \)
Do đó
\(\begin{array}{l}
{V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}xy\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \\
\Rightarrow {V^2} = \frac{1}{{36}}{x^2}{y^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \right) = \frac{{16}}{{36}}.\frac{{{x^2}}}{4}.\frac{{{y^2}}}{4}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4}} \right) \le \frac{4}{9}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{x^2}}}{4} = \frac{{{y^2}}}{4} = 1 - \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{4} \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 1
