Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, hình chiếu của vuông góc của đỉnh \(S\) xuống mặt đáy nằm trong hình vuông \(ABCD\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \({60^0}\); góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là \({45^0}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), tính \(\cos \alpha \).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(1\), chiều cao hình chóp \(SH = h\).
Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),C\left( {1;1;0} \right)\).
Gọi tọa độ \(H\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow S\left( {a;b;h} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AS} = \left( {a;b;h} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - h;0;a} \right)\)
\(\overrightarrow {BS} = \left( {a - 1;b;c} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - h;0;a - 1} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {AS} = \left( {a;b;h} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {0; - h;b} \right)\)
\({\overrightarrow n _{\left( {ABCD} \right)}} = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Do \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {h^2} + a\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} + {a^2} = a\,\,\left( 1 \right)\)
Góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({60^0}\) \( \Rightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| {b\left( {a - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{b\left( {a - 1} \right)}}{{\sqrt {1 - a} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - a} }}\)
Góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là \({45^0}\) \( \Rightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {ab} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {a^2}} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\)
Suy ra \(\dfrac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}:\dfrac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}:\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}\).
Gọi góc giữa \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\alpha \) \( \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}} = \dfrac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {a - \dfrac{2}{3}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn C.
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},k \in \mathbb{R}\). Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\). Điểm \(M\) nằm trên \(\Delta \) thì điểm \(M\) có dạng nào sau đây?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right);B\left( {0; - 1;0} \right);C\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). Mệnh đề đúng là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, \(AB = a,\,\,SA = 2a,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)\). Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 3a,BC = 4a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo giữa SC và mặt phẳng đáy bằng \({60^0}\). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng
-
Cho \(\int {{{\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right|} + \dfrac{p}{{x + 1}} + C\). Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) bằng
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( { - 1;1;6} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\) . Hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta \) là
-
Có bao nhiêu cách phân tích số \({15^9}\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?
-
Cho khối nón \(\left( N \right)\) đỉnh \(S\), có chiều cao là \(a\sqrt 3 \) và độ dài đường sinh là \(3a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\), cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc \({60^0}\). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và khối nón \(\left( N \right)\).
-
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - m}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) cắt nhau.
-
Cho các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w = 3 - 2i + \left( {4 - 3i} \right)z\) là một đường tròn. Tính bán kính \(r\) của đường tròn đó
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên tập \(\mathbb{R}\)?
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {2; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 2z + 3 = 0\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
Cho các số thực \(a,b > 1\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{{{\log }_a}\left( {\frac{{{b^8}}}{{{a^3}}}} \right)}} = 12{b^2}.\) Giá trị của biểu thức \(P = {a^3} + {b^3}\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {0;1;0} \right),\,C\left( {3;0;1} \right)\). Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là:
-
Số nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{{{{5.2}^x} - 8}}{{{2^x} + 2}}} \right) = 3 - x\) là
-
Cho số thực \(a > 0;a \ne 1.\) Giá trị của \({\log _{{a^2}}}\left( {\sqrt[7]{{{a^3}}}} \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên và đường thẳng \(d:y = {m^3} - 3{m^2} + 4\) (với \(m\) là tham số). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt?
.JPG)
