Cho \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx} = {m^2} - 1\) . Tính tổng tất cả các giá trị của tham số \(m.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{9^x} + 3} \right) - 3 + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \dfrac{{3\left( {m - 1} \right)}}{{{9^x} + 3}}} \right)dx} \)
\( = \left. x \right|_0^1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx} = 1 + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \)
Ta tính \(J = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \)
Đặt \({9^x} + 3 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{9^x}.\ln 9dx = dt\\{9^x} = t - 3\end{array} \right. \Rightarrow dx = \dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)}}\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 4\\x = 1 \Rightarrow t = 12\end{array} \right.\)
Khi đó \(J = \int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\ln 9}}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = } \dfrac{1}{{\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\dfrac{1}{t}.\dfrac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt} = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{t}} \right)dt} \)
\( = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{t}} \right|} \right|_4^{12} = \dfrac{1}{{3\ln 9}}\left( {\ln \dfrac{3}{4} - \ln \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{{3.2\ln 3}}.\ln 3 = \dfrac{1}{6}\)
Suy ra \(I = 1 + 3\left( {m - 1} \right).\dfrac{1}{6} = 1 + \dfrac{{m - 1}}{2}\).
Theo đề bài ta có \(1 + \dfrac{{m - 1}}{2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Tổng các giá trị của \(m\) là \(1 + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{2}.\)
Chọn B.
Câu hỏi liên quan
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = - 1\end{array} \right.,{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1;a;b} \right)\), tính \(a + b\).
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên và đường thẳng \(d:y = {m^3} - 3{m^2} + 4\) (với \(m\) là tham số). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt?
.JPG)
-
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 4}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{3}\) . Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) và song song với \({d_2}\) là:
-
Có bao nhiêu cách phân tích số \({15^9}\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?
-
Cho khối nón \(\left( N \right)\) đỉnh \(S\), có chiều cao là \(a\sqrt 3 \) và độ dài đường sinh là \(3a\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(S\), cắt và tạo với mặt đáy của khối nón một góc \({60^0}\). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) và khối nón \(\left( N \right)\).
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, hình chiếu của vuông góc của đỉnh \(S\) xuống mặt đáy nằm trong hình vuông \(ABCD\). Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right),\left( {SBC} \right)\) vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \({60^0}\); góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là \({45^0}\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), tính \(\cos \alpha \).
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 10\\{u_4} + {u_6} = 80\end{array} \right.\) . Tìm \({u_3}.\)
-
Hai người \(A\) và \(B\) ở cách nhau \(180m\) trên một đoạn đường thẳng và cùng chuyển động thẳng theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyển động với vận tốc \({v_1}\left( t \right) = 6t + 5\left( {m/s} \right)\), B chuyển dộng với vận tốc \({v_2}\left( t \right) = 2at - 3\left( {m/s} \right)\) (\(a\) là hằng số), trong đó \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A,B bắt đầu chuyển động. Biết rằng lúc đầu A đuổi theo B và sau \(10\) (giây) thì đuổi kịp. Hỏi sau \(20\) giây, A cách B bao nhiêu mét?
-
Cho phương trình \(\log _3^2x - 4{\log _3}x + m - 3 = 0\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} > {x_2} > 1\).
-
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \dfrac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) và giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số đã cho.
-
Cho hai số phức \(z,w\) thay đổi thỏa mãn \(\left| z \right| = 3,\left| {z - w} \right| = 1\). Biết tập hợp điểm của số phức \(w\) là hình phẳng \(H\). Tính diện tích \(S\) của hình \(H\).
-
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Tỉ số thể tích của khối tứ diện \(AA'B'C\) và khối lăng trụ đã cho là:
-
Đường thẳng \(y = m\) tiếp xúc với đồ thị \(\left( C \right):y = - 2{x^4} + 4{x^2} - 1\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Giá trị của biểu thức \({y_A} + {y_B}\).
-
Cho lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh \(a\), chiều cao \(2a.\) Tính thể tích khối lăng trụ.
-
Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là \(90cm\), đáy hình hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là \(50cm\) và chiều dài là \(80cm\). Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là \(40cm\). Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là \(20cm\) theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu?
.JPG)
-
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = mx + 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right):{x^3} - {x^2} + 1\) tại ba điểm \(A;B\left( {0;1} \right);C\) phân biệt sao cho tam giác \(AOC\) vuông tại \(O\left( {0;0} \right)\)?
-
Cho \(\int {{{\left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)}^2}dx = mx + n\ln \left| {x + 1} \right|} + \dfrac{p}{{x + 1}} + C\). Giá trị của biểu thức \(m + n + p\) bằng
-
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - m}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}}\) (với \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) cắt nhau.
-
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},k \in \mathbb{R}\). Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
