Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi O, \({{O}_{1}}\) lần lượt là tâm hình vuông ABCD và \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\); I là trung điểm của \(O{{O}_{1}}; H\) là hình chiếu vuông góc của I trên \({{O}_{1}}C\).
Ta có \({{B}_{1}}{{D}_{1}}\bot \left( {{O}_{1}}IH \right) \Rightarrow IH\bot {{B}_{1}}{{D}_{1}}\) mà \(IH\bot {{O}_{1}}C \Rightarrow IH\bot \left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\). Suy ra góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) là \(\varphi =\widehat{I{{B}_{1}}H}\).
Ta có \({{B}_{1}}I=\frac{{{B}_{1}}D}{2} =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{2}; \frac{1}{4I{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{O}_{1}}{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+2 \Rightarrow IH=\frac{x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}\).
Suy ra \(\tan \varphi =\frac{IH}{{{B}_{1}}I}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}}{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{2}}=\frac{x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\)
Do \(2{{x}^{2}}+1\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{4}}}\) và \({{x}^{2}}+2\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\) nên \(\tan \varphi \le \frac{1}{3}\). Đẳng thức xảy ra khi x=1.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).lo{{g}_{4}}\left( {{2.5}^{x}}-2 \right)=m\) có nghiệm \(x\ge 1.\)?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\) giảm trên khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\)?
-
Cho hai điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và \(B\left( 4;5;-2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình 3x-4y+5z+6=0. Đường thẳng AB cắt \(\left( P \right)\) tại điểm M. Tính tỷ số \(\frac{MB}{MA}\).
-
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc \(45{}^\circ \). Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \({d}'\) là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).
-
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.
-
Phương trình \({{3}^{1-x}}=2+{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\) có bao nhiêu nghiệm âm?
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được tính theo công thức
-
Bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+6x+16}-\sqrt{4-x}\ge 2\sqrt{3}\) có tập nghiệm là \(\left[ a;b \right]\). Hỏi tổng a+b có giá trị là bao nhiêu?
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \({{y}^{2}}=4x\) và đường thẳng x=4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
.PNG)
-
Cắt khối lăng trụ \(MNP.{M}'{N}'{P}'\) bởi các mặt phẳng \(\left( M{N}'{P}' \right)\) và \(\left( MN{P}' \right)\) ta được những khối đa diện nào?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
-
Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SA=SB=SC=a, Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:
-
Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức \({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}a+{{\log }_{5}}a={{\log }_{2}}a.{{\log }_{3}}a.{{\log }_{5}}a\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;\,1;\,1 \right)\) và \(B\left( 0;\,-1;\,1 \right).\) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
-
Biết phương trình \({{4}^{{{\log }_{9}}x}}-{{6.2}^{{{\log }_{9}}x}}+{{2}^{{{\log }_{3}}27}}=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\). Khi đó \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) bằng :
-
Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m-1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x+y+z-1=0\). Gọi d là đường thẳng nằm trên \(\left( \alpha \right)\) đồng thời cắt đường thẳng \(\Delta \) và trục Oz. Một véctơ chỉ phương của d là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng \(60{}^\circ \). Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\). Tính môđun nhỏ nhất của z-i.
