Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=B{B}'=a;\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A{B}'I)\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( AB'I \right).\)
Do tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(AB'I\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) nên ta có
\({{S}_{ABC}}={{S}_{AB'I}}.\cos \alpha \)
\({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)
\(AB{{'}^{2}}=AA{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)
\(A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\)
\(C'B{{'}^{2}}=C'A{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}-2.A'B'.A'C'.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}.\)
\(B'{{I}^{2}}=B'C{{'}^{2}}+C'{{I}^{2}}=3{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{13{{a}^{2}}}{4}.\)
Có \(AB{{'}^{2}}+A{{I}^{2}}=B'{{I}^{2}}\Rightarrow \Delta AB'I\) vuông tại \(A.\)
\({{S}_{AB'I}}=\frac{1}{2}.AB'.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}.\) Do đó \(\cos \alpha =\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{AB'I}}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Ấp Bắc lần 3