Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(y' = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)
Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)
*) TH1: \(x = 0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m = \pm 2\)
Với \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) thì \(g\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x = 0\) bội \(4\) theo kết quả ở trên thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là nghiệm bội \(7\) của \(y'\) nên \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn \(m{\rm{ }} = {\rm{ }}2.\)
Với \(m = - 2\) thì \(g\left( x \right)\) có nghiệm \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và 1 nghiệm dương, lúc này lập bảng biến thiên thu được \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực đại của hàm số. Loại \(m{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}2.\)
*) TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m \ne \pm 2\). Ta có \(g\left( 0 \right) = - 4\left( {{m^2} - 4} \right)\).
\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 4\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)
Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An
