Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-2}}+2y \right)=6y-x\,+1\) và \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai+ Điều kiện \({{3}^{x-2}}+2y>0\).
+ Phương trình tương đương: \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)=6y-x\,\,\,\left( * \right)\).
+ Đặt: \(u={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\Rightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{u}}\) \(\Rightarrow 6y={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}\).
Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{x-1}}-u={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}-x\)
\(\Leftrightarrow {{3.3}^{x-1}}+x={{3}^{u}}+u\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\).
+ Hàm \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên
\({{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{x}}\)\(\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}\) (thỏa đk \({{3}^{x-2}}+2y>0\)).
+ Do \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\) nên \({{2022}^{-1}}\le {{3}^{x-2}}\le 2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}\le x-2\le {{\log }_{3}}2022\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}+2\le x\le {{\log }_{3}}2022+2\)
\(\Rightarrow -5
+ Do \(x\) nguyên, suy ra \(x\in \{-4;-3;....;8\}\).
\(x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1\}\) suy ra \(y\) không nguyên do \(0
\(x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}\) suy ra \(y\) nguyên do \(y\in \{{{3}^{0}};{{3}^{1}};{{3}^{2}};{{3}^{3}};{{3}^{4}};{{3}^{5}};{{3}^{6}}\}\).
+ Vậy có 7 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa YCBT.
Chọn C
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Minh Đức
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt CĐ tại?
-
Cho hàm số sau \(f(x)\)có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-3x}},\forall x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\) và \(f(-1)=\frac{2}{3}\). Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) thỏa mãn \(F(-1)=0\). Giá trị của \(F\left( \frac{1}{4} \right)\) bằng?
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\) là?
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+\frac{3}{2}\) và \(f(0)=0\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m\in \left( -2021\,;\,2022 \right)\) để hàm số \(g(x)=\left| {{f}^{2}}(x)+2f(x)+m \right|\) có đúng 3 điểm cực trị?
-
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục hoành và trục tung. Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( 0\,;\,4 \right)\) và có hệ số góc \(k\,\,\left( k\in \mathbb{R} \right)\) chia hình \(\left( H \right)\) thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của \(k\) bằng?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB=1,AD=AA'=\sqrt{3}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(BC\). Góc giữa 2 đường thẳng \(MN\) và \(AC\) bằng?
-
Tính thể tích của khối cầu có bán kính \(R\)?
-
Hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+1\) nghịch biến trên khoảng nào?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao bằng \(h\). Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(a\) là số thực dương. Khẳng định nào đúng?
-
Trên tập hợp số phức, biết \({{z}_{0}}=3-2i\) là một nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+az+b=0\)(với \(a,\,\,b\in \mathbb{R}\)). Tính giá trị của \(a+b\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?
-
Cho hàm số sau \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\). Hàm số đạt CĐ tại điểm?
-
Tiệm cận đứng của ĐTHS \(y=\frac{2x-4}{x+1}\) là đường thẳng có phương trình?
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào thuộc đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}?\)
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình:
Số nghiệm của phương trình \(f\left[ f\left( x \right) \right]=0\) là?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữa nhật, \(AB=2,\,AD=2\sqrt{3}\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, k/c giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \(SC\)bằng \(3\). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng?
-
GTLN của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng?
-
TXĐ của hàm số \(y={{x}^{\sqrt{5}}}\) là?
-
Với \(a\) là số thực dương, giá trị của \(\log {{a}^{10}}\) bằng?
