Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình\(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} \le {m^2} - m + 1\) nghiệm đúng \(\forall \,x \in \left[ { - 3;6} \right]\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {18 + 3x - {x^2}} \le {m^2} - m + 1\).
ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).
Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \)
Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = \frac{{\sqrt {6 - x} - \sqrt {3 + x} }}{{2\sqrt {3 + x} \sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow 6 - x = 3 + x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).
BBT:
.JPG)
\( \Rightarrow t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\)
Ta có \({t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}} = 9 + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}} \)
\( \Rightarrow \sqrt {18 + 3x - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 9}}{2}\).
Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} \le {m^2} - m + 1\,\,\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right] \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;3\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2}\) ta có : \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{2}.2t = 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
BBT:
\( \Rightarrow {m^2} - m + 1 \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 1\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 10; - 1} \right] \cup \left[ {2;10} \right]\end{array} \right. \Rightarrow \)Có 19 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D.
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng \( - 1.\)
-
Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)
-
Trong không gian, cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA,AB,BC\) đôi một vuông góc với nhau và \(SA = a,SB = b,SC = c.\) Mặt cầu đi qua \(S,A,B,C\) có bán kính bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \mathbb{R},\,\,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{mx - 4}}{{x + 1}}\) (với m là tham số thực) có bảng biến thiên dưới đâyMệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\) . Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)
-
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
.JPG)
-
Hàm số \(y = - {x^4} - {x^2} + 1\) có mấy điểm cực trị ?
-
Hình vẽ bên là đồ thị cảu hàm số \(y = f\left( x \right)\) Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên không âm của tham số \(m\) để hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2019} \right) + m - 2} \right|\) có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của \(S\) bằng
.JPG)
-
Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật \(AB = 1m,{\rm{AA}}' = 3m\) và \(BC = 2cm.\) Tính thể tích \(V\) của khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)?
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây
.JPG)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( { - 1;2;3} \right).\) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là
-
Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ....C_n^7} \right) = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}\). Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên:
.JPG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} \right).\) Hàm số \(F\left( {{x^2} + x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đường sinh \(l\) , bán kính đáy \(r\) là
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
.JPG)
Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m - 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị \(\left( C \right)\) có đúng một tiếp tuyến song song với trục \(Ox.\) Tổng tất cả các phần tử của \(S\) là
