Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN nhỏ nhất:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:
\(2x + m = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + (m + 1)x + m - 3 = 0\) (*)
Ta có: \(\Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 8(m - 3) = {m^2} - 6m + 25 = {(m - 3)^2} + 16 > 0\forall m\)
=> (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{{m + 1}}{2}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}
\end{array} \right.\)
Gọi \(M({x_1};2{x_1} + m),N({x_2};2{x_2} + m)\) là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
M{N^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)^2} = 5{({x_2} - {x_1})^2}\\
= 5\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 5\left[ {\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{4} - 4.\frac{{m - 3}}{2}} \right]\\
= \frac{5}{4}\left( {{m^2} + 2m + 1 - 8m + 24} \right) = \frac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right)\\
= \frac{5}{4}{\left( {m - 3} \right)^2} + 20 \ge 20\forall m
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN - Hà Nội
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
.png)
-
Với các số a, b > 0 thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 6ab\) , biểu thức \({\log _2}(a + b)\) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left| z \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) là một khối đa diện có thể tích bằng:
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {(4x + 2)\ln xdx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) . Giá trị của a + b + c bằng:
-
Cho hàm số f(x) > 0 với mọi \(x \in R,f(0) = 1\) và \(f(x) = \sqrt {x + 1} f'(x)\) với mọi \(x \in R\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(AB = a,\angle BAD = {60^ \circ },SO \bot (ABCD)\) và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy một góc bằng 600 . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
-
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng qua A(1;0;2) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\). Điểm nào dưới đây thuộc d?
-
Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + 6i = 2 - 2bi, với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng
-
Cho khối trụ (T). Biết rằng một mặt phẳng chứa trục của (T) cắt (T) theo thiết diện là một hình vuông cạnh 4a. Thể tích khối trụ đã cho bằng:
-
Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định theo công thức
.png)
-
Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần. Gọi a là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất, b là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai. Xác suất để phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) có nghiệm bằng
-
Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:
-
Cho hàm số có bảng biến thiên
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
-
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết \(MN = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) , góc giữa đường thẳng AD và BC bằng:
-
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng xét dấu như sau:
.png)
-
Cho số phức z thỏa mãn \((2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i\). Mô đun của z bằng
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm I và bán kính R lần lượt là:
-
Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1 và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy O1 lấy điểm B sao cho \(AB = \sqrt 5 a\). Thể tích khối tứ diện bằng:
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\)
-
Với các số thực \(a,b > 0,a \ne 1\) tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
