Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là x (m). Giả sử chiều sâu của ao cũng là x (m). Tính thể tích lớn nhất V của ao.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: Đường kính đáy của hình trụ là \(9 - 2x \Rightarrow \) Bán kính đáy hình trụ là \(\frac{{9 - 2x}}{2}\).
Khi đó ta có thể tích ao là \(V = \pi {\left( {\frac{{9 - 2x}}{2}} \right)^2}x = \frac{\pi }{4}{\left( {9 - 2x} \right)^2}x = \frac{\pi }{4}f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {9 - 2x} \right)^2}x = 4{x^3} - 36{x^2} + 81x\) với \(0 < x < \frac{9}{2}\) ta có:
\(f'\left( x \right) = 12{x^2} - 72x + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{9}{2}\\
x = \frac{3}{2}
\end{array} \right.\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(f{\left( x \right)_{\max }} = 54 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\). Khi đó \({V_{\max }} = \frac{\pi }{4}.54 = \frac{{27\pi }}{2} = 13,5\pi \left( {{m^3}} \right)\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 1