Cho đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1;3)\). Lập phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) xuất phát từ điểm \(A\).
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\Delta :ax + by + c = 0\).
\(A \in \Delta \Leftrightarrow a + 3b + c = 0\) \( \Leftrightarrow c = - a - 3b\) hay \(\Delta :ax + by - a - 3b = 0\)
\(\Delta \) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) \( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - b - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)
\( \Leftrightarrow \left| {2a - 4b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} = {a^2} + {b^2}\) \( \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0\) \( \Leftrightarrow b\left( {3b - 4a} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\4a = 3b\end{array} \right.\)
Với \(b = 0\), chọn \(a = 1\) ta được \({\Delta _1}:x - 1 = 0\).
Với \(4a = 3b\), chọn \(a = 3,b = 4\) ta được \({\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\).
Vậy \({\Delta _1}:x - 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0\).